Les formulaire des développements limités usuels, avec des éléments de preuve en annexe.
| Fonction | Développement limité |
|---|---|
| $$e^{ax}$$ | $$ 1 + ax + \frac{(ax)^2}{2} + \frac{(ax)^3}{3!} + … + \frac{(ax)^n}{n!} + o(x^n) $$ |
| $$(1+x)^\alpha$$ | $$1 + ax + \frac{a(a-1)}{2}x^2 + … + \frac{a(…)(a-n+1)}{n!} + o(x^n)$$ |
| $$\frac{1}{1+x}$$ | $$ 1-x+x^2-x^3+x^4+…+(-1)^n x^n + o(x^n) $$ |
| $$\frac{1}{1-x}$$ | $$ 1+x+x^2+x^3+x^4+…+x^n + o(x^n) $$ |
| $$\cos(x)$$ | $$ 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + … + \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} + o(x^{2n}) $$ |
| $$\sin(x)$$ | $$ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + … + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} + o(x^{2n+1}) $$ |
| $$ \cosh(x) $$ | $$ 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + … + \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n}) $$ |
| $$\sinh(x)$$ | $$ x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + … + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+1}) $$ |
| $$ \arctan(x) $$ | $$ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + … + \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} + o(x^{2n+1}) $$ |
| $$ \ln(1+x) $$ | $$ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + … + \frac{(-1)^{n+1}x^n}{n} + o(x^n) $$ |
| $$ \ln(1-x) $$ | $$ - x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - …. - \frac{x^n}{n} + o(x^n) $$ |
| $$ \tan(x) $$ | $$ x + \frac{x^3}{3} + \frac{2}{15} x^5 + o(x^5) $$ |
Annexe
Une bonne partie de ces formules se trouve directement à partir de la formule de Taylor-Young
Théorème
Si $f$ est $n$ fois dérivable sur $]a,b[$, alors $f$ admet un développement limité d’ordre $n$ en $0$ et celui-ci est donné par $$ f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k + o_{x \rightarrow 0}(x^n) $$
À venir…