Les formulaire des développements limités usuels, avec des éléments de preuve en annexe.

Fonction	Développement limité
$e^{x}$	$1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3!} + ... + \frac{x^n}{n!} + o(x^n)$
$(1+x)^\alpha$	$1 + ax + \frac{a(a-1)}{2}x^2 + ... + \frac{a(...)(a-n+1)}{n!} x^n + o(x^n)$
$\frac{1}{1+x}$	$1-x+x^2-x^3+x^4+...+(-1)^n x^n + o(x^n)$
$\frac{1}{1-x}$	$1+x+x^2+x^3+x^4+...+x^n + o(x^n)$
$\cos(x)$	$1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + ... + \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} + o(x^{2n})$
$\sin(x)$	$x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + ... + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} + o(x^{2n+1})$
$\cosh(x)$	$1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + ... + \frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n})$
$\sinh(x)$	$x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + ... + \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} + o(x^{2n+1})$
$\arctan(x)$	$x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + ... + \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} + o(x^{2n+1})$
$\ln(1+x)$	$x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + ... + \frac{(-1)^{n+1}x^n}{n} + o(x^n)$
$\ln(1-x)$	$- x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - .... - \frac{x^n}{n} + o(x^n)$
$\tan(x)$	$x + \frac{x^3}{3} + \frac{2}{15} x^5 + o(x^5)$

Annexe

Une bonne partie de ces formules se trouve directement à partir de la formule de Taylor-Young

Théorème
Si $f$ est $n$ fois dérivable au voisinage de $a$ , alors $f$ admet un développement limité d’ordre $n$ en $a$ et celui-ci est donné par
$f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k + o_{x \rightarrow a}((x-a)^n)$

À venir…